刻画 Borel 完全扩张的存在性

我们发展了一套通用机制，将无穷句子 $\Phi$ 的潜在规范 Scott 句子类表示为相关语言中结构的一个类。由此，我们证明 $\Phi$ 具有 Borel 完全扩张当且仅当对某个可数模型 $M\models \Phi$ 有 $S_\infty$ 整除 $Aut(M)$。利用此结论，我们证明对于断言 $\{E_n\}$ 是具有 $h(n)$ 个类的可数交叉等价关系族的理论 $T_h$，若 $h(n)$ 一致有界，则 $T_h$ 不是 Borel 完全的，从而给出了 \cite{LU} 中定理 2.1 的逆命题。