$\chi^{3/2}$-MOND 宇宙学的特征长度尺度与动力学

本文研究 Bernal 等人 (2011) 提出的 $\chi^{3/2}$-MOND 引力理论的宇宙学。该理论是对爱因斯坦广义相对论（GR）的修正，通过一个无量纲曲率标量 $\chi$ 将里奇标量 $R$ 按某特征长度尺度 $L_M$ 重新标度，并采用由 $3/2$ 次幂拉格朗日量导出的一组修正场方程。特征长度尺度假定由该理论的普适常数与所讨论系统的参数构成。在弱场极限下，该理论恢复 Milgrom (1983) 的修正牛顿动力学（MOND）。MOND 是一种在加速度阈值 $a_0\approx1.2\times{10}^{-10}m/s^2$ 以下修正牛顿引力定律的提议，用以在无任何暗物质成分假设下解释星系旋转曲线的反常平坦化。在宇宙学情形中，本文断言特征长度尺度为 $c^2/a_0$ 量级。该特定值的提出基于两点理由：(1) 表明此尺度定义了 GR 与 MOND 在某个临界质量（对应此长度）处的汇合；(2) 证明该长度尺度是独立于质量参数的 $L_M$ 极值。所确立的长度尺度随后用于宇宙学情形；将 FLRW 度规代入修正场方程，导出两个修正的弗里德曼方程，并通过常数 $a_0$ 的显式出现纳入 MOND 效应。