认证支配

假设给定一个官员集合 $D$ 和一个平民集合 $W$。对于每个平民 $x \in W$，必须有一名官员 $v \in D$ 可为 $x$ 提供服务，且每当任何这样的 $v$ 为 $x$ 提供服务时，还必须有一名平民 $w \in W$ 监督 $v$，即 $w$ 可充当一种见证人，以避免 $v$ 的任何滥用职权行为。在给定社交网络的前提下，保证这样一种服务所需的最少官员数量是多少？本文中，我们引入了认证支配的概念，它完美地刻画了上述问题。具体而言，图 $G=(V_G,E_G)$ 的支配集 $D$ 被称为认证的，如果 $D$ 中的每个顶点在 $V_G\setminus D$ 中要么没有邻居，要么至少有两个邻居。$G$ 中最小认证支配集的基数称为 $G$ 的认证支配数。在本文中，我们给出了某些图类的认证支配数的精确值，并给出了任意图上该参数的上界。然后，我们刻画了支配数与认证支配数相等的一大类图，并刻画了具有大认证支配数值的图。接着，我们研究了通过删除/添加一条边或一个顶点来修改图时对认证支配数的影响。我们还给出了认证支配数的 Nordhaus-Gaddum 型不等式。最后，我们证明了（判定版）认证支配问题是 NP 完全的。