深度神经网络函数空间范数的数值计算：认证与精确性
数值分析
2026-04-17 v2 机器学习
数值分析
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摘要
神经网络方法用于偏微分方程需要可靠的函数空间范数误差控制。然而，训练好的神经网络通常只能在有限数量的点值处进行探测。没有强假设的情况下，点评估本身不足以导出函数空间范数的紧致确定性且保证的界限。本文超越纯黑盒设置，直接利用神经网络结构。我们提出了一种用于神经网络积分量认证且精确计算的框架，包括Lebesgue范数和Sobolev范数，通过将区间算术 Enclosure 与轴对齐箱结合的自适应标记/细化和基于数值积分的聚合实现。在每个箱上，我们计算函数值和导数的保证性下界和上界，并将这些局部证书传递到目标积分的全局下界和上界。我们的分析为此类认证自适应数值积分程序提供了一般收敛定理，并为函数值、Jacobian和Hessian实例化，实现对、和范数的认证计算。我们进一步展示，这些构件如何导致针对PINN内部残差的实用认证界限。数值实验说明了所提出方法的准确性和实际行为。
引用
@article{arxiv.2603.06431,
title = {Certified and accurate computation of function space norms of deep neural networks},
author = {Johannes Gründler and Moritz Maibaum and Philipp Petersen},
journal= {arXiv preprint arXiv:2603.06431},
year = {2026}
}