二十世纪六十年代的 Černý-Starke 猜想

在确定性有限自动机（DFA）的底层图 $\Gamma$ 的边上的字母构成的一个词 $s$ 被称为同步词，如果 $s$ 将该自动机的所有状态发送至唯一状态。J. Černý 在 1964 年发现了一类 $n$ 态完全 DFA 序列，其拥有长度为 $(n-1)^2$ 的极小同步词。该假设（如今多被称为 Černý 猜想）断言：对于每一个完全 $n$ 态 DFA，在 $\Gamma$ 边上的字母表 $\Sigma$ 上，此类词的长度的精确上界为 $(n-1)^2$。该假设由 Starke 于 1966 年提出。我们采用在由边上标号字母表中的词所诱导的特殊矩阵类上定义的非标准运算代数来证明该猜想。证明基于词 $u$ 的长度与由同步词 $s$ 的矩阵方程 $M_uL_x=M_s$ 的解 $L_x$ 所生成的空间维数之间的联系，以及 $M_u$ 与 $L_x$ 的秩之间的关系。下文起重要作用的是伪逆矩阵（有时可逆）的概念。