卡西米尔力与亥姆霍兹力之比较：精确结果

近来，涨落诱导力的系综依赖性问题的关注有所增加。作为一个值得注意的例子，在 $O(n)$ 系统中，此类力背后的统计力学在常 $\vec{M}$ 磁正则系综（CE）中与在广泛研究的常 $\vec{h}$ 巨正则系综（GCE）中可证明是不同的。此处，GCE 中卡西米尔力（Casimir force）的对应物是 CE 中的亥姆霍兹力（Helmholtz force）。鉴于有限系统中两个系综之间的差异，有理由预期这些力一般对于相同几何与边界条件会表现出不同行为。本文给出在一维伊辛模型在周期与反周期边界条件下卡西米尔力与亥姆霍兹力的一些精确结果，并比较其行为。我们注意到，伊辛模型近期已在 Phys.Rev. E {\bf 106} L042103(2022) 中利用其序参量固定值 $M$ 的情形以组合方法求解。本文采用转移矩阵法（TMM）推导了具有 $N$ 个自旋且固定值 $M$ 的一维伊辛模型配分函数的精确结果；早先经 TMM 获得的结果仅限于 $M=0$ 且 $N$ 为偶数。作为副产品，我们导出了高斯超几何函数的若干特定积分表示。利用这些结果，我们严格推导了在热力学极限下 CE 与巨 GCE 的自由能经由勒让德变换相互关联，并确立了正则情形下的主导有限尺寸修正，其较 GCE 情形下的相应修正显著得多。