神经网络能否在拉格朗日网格无网格方法与高阶插值之间架起桥梁？

网格无网格数值方法在离布满复杂几何形状时具有灵活性，在网格方法难以应对的领域展现出潜力。虽然可通过一致性校正获得高阶近似，但在拉格朗日配方中仍显得昂贵，往往表现为低阶收敛。本文探讨了使用机器学习 (ML) 在网格无网格拉朗日仿真与高阶近似之间架起桥梁的可能性。我们开发了将数据驱动模型——特别是多层感知器和残差 MLP——与 Local Anisotropic Basis Function Method (LABFM) 结合的策略，后者作为一种典型的高阶网格无网格方法。首先一种策略中，我们使用神经网络替代高阶核；第二种策略中，我们为计算高阶网格无网格方法中稠密、低秩线性系统的解而开发替代模型。针对旨在预测支持节点权重的网络，结果表明其定性匹配验证数据，但未能消除因 ML 计算权重不准确而导致的低阶误差，从而导致行为发散。关于第二种策略，ML 计算得到的解向量产生的残差平均绝对误差为 $\mathcal{O}(10^{-5})$。然而，收敛性研究表明，这一准确度不足以保证在较低分辨率下导数算子收敛，并实现的准确度低于 LABFM 理论上允许的水平。此外，使用神经网络计算解向量与 LU 分解相比，计算收益仅略有增加。这些发现表明，足够的准确度挑战了将神经网络用作高阶核的替代品以及求解不良条件线性系统的可能性，而额外的高计算成本进一步限制了后者的实用性。