二维正则网格上的广播

我们研究有向无环图上广播问题的一个特例，即二维正则网格上的广播。考虑一个二维正则网格，其源顶点 $X$ 位于第 $0$ 层，第 $k\geq 1$ 层有 $k+1$ 个顶点，它们与 $X$ 的距离为 $k$。二维正则网格的每个顶点出度为 $2$，边界上的顶点入度为 $1$，其余所有顶点入度为 $2$。在时刻 $0$，$X$ 被赋予一个随机比特。在时刻 $k\geq 1$，第 $k$ 层的每个顶点接收来自其第 $k-1$ 层父节点的传输比特，其中比特经过噪声水平为 $\delta\in(0,1/2)$ 的二元对称信道。然后，每个顶点使用公共布尔处理函数来组合其接收的比特以产生输出比特。目标是在 $k \rightarrow \infty$ 时，从第 $k$ 层所有顶点以优于 $1/2$ 的错误概率恢复 $X$。除了在通信网络中的自然解释外，此类广播过程可理解为具有边界条件的一维概率元胞自动机（PCA），该边界条件将每个时刻 $k$ 的站点数限制为 $k+1$。我们猜想，无论噪声水平与处理函数的选择如何，在二维正则网格中传播信息都是不可能的。在本文中，我们在确立该猜想方面取得进展，并利用渗流与编码理论的思想证明：若所有顶点使用 AND 或 XOR 处理函数，则对任意 $\delta$ 恢复 $X$ 都是不可能的。此外，我们提出一种基于鞅的方法，若某些上鞅能被严格构造，则证明当所有顶点使用 NAND 处理函数时对任意 $\delta$ 恢复 $X$ 是不可能的。我们还通过线性规划对不同 $\delta$ 值计算显式例子，为这些上鞅的存在性提供了数值证据。