Bow 度量与超曲性

在 (Dragan & Ducoffe, 2023) 中，定义了 ($\lambda,\mu$)-bow 度量作为 $\alpha_i$ 度量（等价于 ($0,i$)-bow 度量）的广泛推广。若图 $G=(V,E)$ 满足 ($\lambda,\mu$)-bow 度量，则对 G 中任意四个顶点 $u,v,w,x$ 都有以下条件：若两个最短路径 $P(u,w)$ 和 $P(v,x)$ 共享长度超过 $\lambda$ 的公共最短子路径 $P(v,w)$（即它们重叠超过 $\lambda$），则 $u$ 与 $x$ 之间的距离至少为 $d_G(u,v)+d_G(v,w)+d_G(w,x)-\mu$。 ($\lambda,\mu$)-bow 度量也可用于所有测地空间。Dragan & Ducoffe 证明，每个 $\delta$ -超曲图（实际上，每个 $\delta$ -超曲测地空间）满足 ($\delta, 2\delta$)-bow 度量。因此， ($\lambda,\mu$)-bow 度量是超曲性和 $\alpha_i$ 度量的通用泛合。本文中，我们探讨了一个引人入胜的问题： ($\lambda,\mu$)-bow 度量是否意味着图的超曲性。请注意，对于一般测地空间，情况并非如此，因为欧几里得空间满足 ($0,0$)-bow 度量而具有无界超曲性。我们推测在图中， ($\lambda,\mu$)-bow 度量确实意味着超曲性，并证明我们的猜测对多个大型图族成立。