有界单纯形结构矩阵分解：算法、可辨识性与应用

本文提出一种新的低秩矩阵分解模型，称为有界单纯形结构矩阵分解（BSSMF）。给定输入矩阵 $X$ 与分解秩 $r$，BSSMF 寻找具有 $r$ 列的矩阵 $W$ 与具有 $r$ 行的矩阵 $H$，使得 $X \approx WH$，其中 $W$ 每一列的元素有界，即属于给定区间，且 $H$ 的列属于概率单纯形，即 $H$ 为列随机矩阵。BSSMF 推广了非负矩阵分解（NMF）与单纯形结构矩阵分解（SSMF）。当输入矩阵 $X$ 的元素属于给定区间时，BSSMF 尤为适用；例如当 $X$ 的行为图像，或 $X$ 为如 Netflix 与 MovieLens 数据集中评分矩阵、其元素属于区间 $[1,5]$ 时。单纯形结构矩阵 $H$ 不仅带来易于理解的分解，提供对 $X$ 各列的软聚类，还意味着 $WH$ 每一列的元素与 $W$ 的各列属于相同区间。本文首先提出一种快速的 BSSMF 算法，即便在 $X$ 存在缺失数据时亦如此。随后我们给出 BSSMF 的可辨识性条件，即给出 BSSMF 在平凡歧义下容许唯一分解的条件。最后，我们在两个应用上展示 BSSMF 的有效性：一组图像中的特征提取，以及推荐系统的矩阵补全问题。