时间调和麦克斯韦方程组各向异性电磁参数的边界恢复

本研究关注微分 $1-$形式上的时间调和麦克斯韦方程组的反边界值问题。我们在具有边界 $\partial M$ 的 $3-$维紧致单连通黎曼流形 $M$ 上，赋予黎曼度量 $g$，建立边界值问题。假设介电常数 $\varepsilon$ 与磁导率 $\mu$ 为实值各向异性（即 $(1,1)-$张量），我们旨在确定由这些参数在 $\partial M$ 处诱导的某些度量，记为 $\hat{\varepsilon}$ 与 $\hat{\mu}$。我们证明，阻抗映射与导纳映射的知识可确定 $\partial M$ 处边界法向坐标下 $\hat{\varepsilon}$ 与 $\hat{\mu}$ 的切向分量，尽管由于保持边界不变的微分同胚所导致的非唯一性，背景体积形式无法在此类坐标中确定。进而，我们证明在某些情况下，对于 $\hat{\varepsilon}$ 的边界法向坐标，我们亦可在 $\partial M$ 处恢复 $\hat{\mu}$ 的法向分量直至一个共形倍数。最后，我们构建归纳证明，表明若 $\hat{\varepsilon}$ 与 $\hat{\mu}$ 在 $\partial M$ 处关于 $\hat{\varepsilon}$ 的边界法向坐标中被确定，则其于 $\partial M$ 处的各阶法向导数亦然。