随机有向图中巨 $(k_1,k_2)$-核的诞生

有向图的 $(k_1,k_2)$-核是指最小入度和最小出度分别至少为 $k_1$ 和 $k_2$ 的最大子有向图。对于 $\max\{k_1, k_2\} \geq 2$，我们证明了阈值边密度 $c^*=c^*(k_1,k_2)$ 的存在性，使得在顶点集 $[n]$ 上具有 $m$ 条边的随机有向图 $D(n,m)$，当 $m/n> c^*$ 时渐近几乎必然存在一个巨 $(k_1,k_2)$-核，而当 $m/n<c^*$ 时不存在 $(k_1,k_2)$-核。具体地，记 $\text{P}(\text{Poisson}(z)\ge k)$ 为 $p_k(z)$，我们证明 $c^*=\min\limits_{z_1,z_2}\max\left\{\tfrac{z_1}{p_{k_1}(z_1)p_{k_2-1}(z_2)}; \tfrac{z_2}{p_{k_1-1}(z_1)p_{k_2}(z_2)}\right\}$。