Holte 进位矩阵的双正交特征向量与无级联枚举

对于 $k$ 项基 $N$ 加法，进位过程是 $\{0,\ldots,k-1\}$ 上的马尔可夫链，其转移矩阵——Holte 矩阵 $T$——具有特征值 $\{N^{-j}\}_{j=0}^{k-1}$，且全部简单且独立于 $N$。我们给出完备的双正交特征向量系统。左特征向量可分解为 $\sum_i u_j[i] x^i = c_{k,j} (x-1)^j A_{k-j}(x)$，其中 $c_{k,j} = |s(k,k-j)|/k!$ 涉及无符号 Stirling 数，$A_n(x)$ 为欧拉多项式。右特征向量满足 $\sum_i \binom{k-1}{i} v_j[i] x^i = (1+x)^{k-1-j} Q_j(x)$，其中商多项式 $Q_j$ 具有回文对称性 $x^j Q_j(1/x) = (-1)^j Q_j(x)$，并在 $k \to \infty$ 时收敛至 $(1-x)^j$；对于 $j \le 3$，我们给出以 $k$ 为变量的显式闭式。无级联避免计数满足 $a(L) = (\sqrt{d})^L U_L(x)$（第二类切比雪夫多项式），当受限转移矩阵的维数 $d \le 2$ 时成立；我们证明了这一点是尖锐的：对于 $k$ 项加法，切比雪夫形式在 $k=3$ 时成立，而在 $k \ge 4$ 时失败。该证明利用振荡矩阵理论建立所有谱残留项非零。受限转移矩阵的特征多项式通过在 Holte 特征值处的带 Stirling 加权拉格朗日插值以闭式确定。具有二进制进位状态空间的两个系统若互为影子等价，当且仅当它们共享特征对 $(N, d)$。对于 $k$ 状态系统的一般分类归结为 $T$ 的特征多项式。