最大割与最小多路割的 Bilu-Linial 稳定实例

我们研究了由 Bilu 和 Linial 提出的稳定性概念。对于 $\gamma \geq c\sqrt{\log n}\log\log n$（其中 $c > 0$ 为某个绝对常数）的 $\gamma$-稳定最大割（Max Cut）实例，我们获得了一个精确的多项式时间算法。我们的算法具有鲁棒性：它从不返回错误答案；如果实例是 $\gamma$-稳定的，它会找到最大割；否则，它要么找到最大割，要么证明该实例不是 $\gamma$-稳定的。我们证明，当 $\gamma < \alpha_{SC}(n/2)$ 时，不存在针对 $\gamma$-稳定最大割实例的鲁棒多项式时间算法，其中 $\alpha_{SC}$ 是具有非均匀需求的稀疏割（Sparsest Cut）问题的最佳近似因子。我们的算法基于半定规划。我们表明，如果 $\gamma \geq D_{\ell_2^2\to \ell_1}(n)$，则最大割的标准半定规划松弛（带有 $\ell_2^2$ 三角不等式）是整数的，其中 $D_{\ell_2^2\to \ell_1}(n)$ 是将每个 $n$ 点负型度量空间嵌入到 $\ell_1$ 的最小失真度。在负面结果方面，我们表明当 $\gamma < D_{\ell_2^2\to \ell_1}(n/2)$ 时，半定规划松弛不是整数的。此外，当 $\gamma < \alpha_{SC}(n/2)$ 时，不存在针对 $\gamma$-稳定最大割实例的可处理凸松弛。这表明求解 $\gamma =o(\sqrt{\log n})$ 的 $\gamma$-稳定实例可能是困难或不可能的。我们的结果显著改进了先前已知的结果。先前针对 $\gamma$-稳定最大割实例的最佳算法要求 $\gamma \geq c\sqrt{n}$（对于某个 $c > 0$）[Bilu, Daniely, Linial, and Saks]。此前该问题尚无硬度结果。此外，我们提出了一种针对 4-稳定最小多路割（Minimum Multiway Cut）实例的算法。我们还研究了一种称为弱稳定性的松弛概念。