Bilu-Linial 稳定性、认证算法与独立集问题

我们在 Bilu 和 Linial (2010) 引入的稳定性概念下研究最大独立集 (MIS) 问题：MIS 的一个带权实例是 $\gamma$-稳定的，如果它有唯一最优解，且在权重乘性扰动因子至多为 $\gamma\geq 1$ 时该解仍保持唯一最优。其目标则是高效恢复该唯一最优解。本工作中，我们求解了若干图类上 MIS 的稳定实例：在最大度数为 $\Delta$ 的图上求解 $\widetilde{O}(\Delta/\sqrt{\log \Delta})$-稳定实例，在 $k$-可着色图上求解 $(k - 1)$-稳定实例，在平面图上求解 $(1 + \varepsilon)$-稳定实例。对于一般图，我们给出一个强下界，表明在植入团猜想下，对 MIS 的 $O(n^{\frac{1}{2} - \varepsilon})$-稳定实例不存在高效算法。我们也给出针对 $(\varepsilon n)$-稳定实例的算法。作为我们技术的副产品，我们给出节点多路割稳定实例的算法与下界。此外，我们证明了一个一般性结论：若干最大化问题的凸松弛的积分间隙在稳定实例上急剧减小。进而，我们开启了认证算法（certified algorithms）的研究，这是 Makarychev 和 Makarychev (2018) 近期引入的概念，为一类 $\gamma$-近似算法，满足一个关键性质：返回的解对原实例的一个扰动是最优的。我们获得最大度数为 $\Delta$ 的图上 MIS 的 $\Delta$-认证算法，以及平面图上的 $(1+\varepsilon)$-认证算法。最后，我们分析 Berman 和 Furer (1994) 的算法并证明它是最大度数为 $\Delta$ 且所有权重等于 1 的图上 MIS 的一个 $\left(\frac{\Delta + 1}{3} + \varepsilon\right)$-认证算法。