严格凸集与闭凸射影曲面上保持完全测地线的双射

在本文中，我们研究 $\mathbf R \mathbf P^n$（$n \geq 2$）中严格凸集上的双射，以及装备希尔伯特度量的闭凸射影曲面上的双射，这些双射将完全测地线作为集合映射到完全测地线。具有标准度量的双曲 $n$-空间是我们所考虑空间的一个特例，并且已知在此背景下这类双射恰好是等距映射。我们首先证明该结果可推广到任意严格凸集。对于曲面情形，我们证明了将简单闭测地线映射到简单闭测地线与将闭测地线映射到闭测地线之间的等价性。我们还概述了进一步探索这些主题的一些未来方向与问题。