超越欧几里得：现代机器学习几何、拓扑与代数结构图解指南
机器学习
2025-07-25 v2
摘要
欧几里得几何的持久影响支撑着经典机器学习，该方法数十年来主要针对欧几里得空间中的数据进行开发。然而，现代机器学习越来越多地遇到了本质上非欧几里得的数据，这些数据具有内在的复杂几何、拓扑和代数结构：从时空曲率的几何，到大脑神经元之间拓扑复杂相互作用，再到描述物理系统对称性的代数变换。从这些非欧几里得数据中提取知识需要更广泛的数学视角。呼应19世纪几何学的革命，正在出现的研究正在以非欧几里得结构重新定义现代机器学习，其目标是将经典方法推广到具有几何、拓扑和代数特征的非传统数据类型。本综述提供了通往这一快速发展领域的易于理解的入口，并提出一种图形分类学将最新进展整合到直观的统一框架中。随后，我们提炼出当前挑战的见解，并突出了该领域未来发展的激动人心的机遇。
引用
@article{arxiv.2407.09468,
title = {Beyond Euclid: An Illustrated Guide to Modern Machine Learning with Geometric, Topological, and Algebraic Structures},
author = {Mathilde Papillon and Sophia Sanborn and Johan Mathe and Louisa Cornelis and Abby Bertics and Domas Buracas and Hansen J Lillemark and Christian Shewmake and Fatih Dinc and Xavier Pennec and Nina Miolane},
journal= {arXiv preprint arXiv:2407.09468},
year = {2025}
}