贝叶斯因子与离散分层对数线性模型的几何

贝叶斯框架中模型选择的标准工具是贝叶斯因子，它比较数据在两种给定不同模型下的边际似然。本文考虑离散数据的分层对数线性模型类，数据以列联表形式给出，采用多项抽样。我们假设Diaconis-Ylvisaker共轭先验是对数线性参数的先验分布，均匀分布是模型空间的先验分布。在这些条件下，两个模型之间的贝叶斯因子是其先验和后验归一化常数的函数。这些常数是超参数(m,α)的函数，它们可以分别解释为虚拟列联表的边际计数和总计数。我们研究当α趋于零时贝叶斯因子的行为。在这项研究中，两个数学对象起着最重要的作用。首先，对于给定的分层对数线性模型，多项分布支撑集的凸包C的内部C及其面；其次，这个凸集C的特征函数J_C。我们证明，当α趋于0时，如果数据位于C_i, i=1,2的维度为k_i的面F_i上，则贝叶斯因子表现为α^{k_1-k_2}。这特别意味着，当数据位于C_1和C_2中时（即当k_i等于模型J_i的维度时），更稀疏的模型被偏好，从而证实了贝叶斯正则化的思想。