通过代数工具批量处理 SINR 图中的点定位

无线网络的 SINR 模型近期得到了广泛研究。该模型试图模拟在 $n$ 个发射机同时工作时，特定位置是否能接收到某个发射机的信号。SINR 图由 $n$ 个可接收到各发射机信号的区域以及剩余无法接收任何信号的空间组成。SINR 图中的高效点定位，即构建一种数据结构以确定对于查询点是否有发射机可被接收，若有则是哪一个，近期已成为研究热点。此前的平面数据结构构建时间至少为 $n$ 的二次方，并支持对数时间的近似查询。此外，这些结构的性能不仅取决于发射机数量 $n$ 和近似参数 $\varepsilon$，还取决于一些无法先验地表示为 $n$ 或 $\varepsilon$ 函数的几何参数。我们探讨了批量点定位查询问题，即同时回答多个查询。具体而言，在一维情况下，我们可以以每次查询摊销多对数时间精确回答 $n$ 个查询；而在平面情况下，我们可以进行近似回答。所有这些结果均能处理发射机的任意功率分配。此外，这些结果中的摊销查询时间仅取决于 $n$ 和 $\varepsilon$。我们还展示了如何将近似一个数量级地加速此前提出的针对均匀功率站点的 SINR 图点定位结构的预处理过程。为此，我们获得了关于接收区域对接收阈值微小变化的敏感性的结果，这些结果具有独立意义。最后，这些结果证明了结合代数工具与计算几何及其他领域工具的（迄今为止未被充分利用的）强大能力。