吠叫的狗：一种用于绕道检测的 Fr\'echet 距离变体

想象你是一只躲在栅栏 $Q$ 后面的狗，而一名徒步旅行者正以恒定速度沿着徒步路径 $P$ 经过。为了履行看门狗的职责，你希望尽可能长时间地对着人类吠叫。然而，你的吠叫声只能在固定半径 $\rho$ 内被听到，而且作为一只狗，你的速度 $s$ 是有限的。你能否优化沿栅栏 $Q$ 的路线，以最大化半径为 $\rho$ 的吠叫时间，假设你可以以最多 $s$ 的速度前后奔跑？我们将 $n$ 个顶点的折线 $P$ 到 $m$ 个顶点的折线 $Q$ 的吠叫距离定义为：如果你沿 $Q$ 最优奔跑，徒步者停留在你的吠叫半径内的时间。这种曲线之间的不对称相似性度量可用于检测 $Q$ 中相对于 $P$ 的异常值，而其他已建立的度量（如 Fr\'echet 距离和动态时间规整）有时无法捕捉到这些异常值。我们在三种不同的设定中考虑此度量。在离散设定中，$P$ 和 $Q$ 的遍历都是离散的。对于这种情况，我们表明从 $P$ 到 $Q$ 的吠叫距离可以在 $O(nm\log s)$ 时间内计算。在半离散设定中，$Q$ 的遍历是连续的，而 $P$ 的遍历再次是离散的。在这里，我们展示了如何在 $O(nm\log (nm))$ 时间内计算吠叫距离。最后，在两者遍历均为连续的连续设定中，我们表明该问题可以在多项式时间内解决。对于所有设定，我们表明，假设 SETH，不存在真正的次二次算法。