置换多面体上的在线赌博优化

置换多面体是一个凸多胞形，其顶点集由所有 $\{1,\dots, n\}$ 上的置换（双射）$\pi$ 对应的向量 $(\pi(1),\dots, \pi(n))$ 组成。我们研究了一种赌博游戏，其中在每一步 $t$，对手选择一个隐藏的权重向量 $s_t$，玩家选择一个置换多面体的顶点 $\pi_t$ 并承受 $\sum_{i=1}^n \pi(i) s_t(i)$ 的观测损失。Cesa-Bianchi 等人 (2009) 先前的 CombBand 算法保证了在时间范围 $T$ 内的遗憾为 $O(n\sqrt{T \log n})$。不幸的是，CombBand 在每一步都需要对 $n$ 乘 $n$ 矩阵的积和式进行近似，且随着 $T$ 的增长需要更高的精度，导致总运行时间在 $T$ 上呈超线性，使其在大时间范围下不切实际。我们提供了一种遗憾为 $O(n^{3/2}\sqrt{T})$ 且总时间复杂度为 $O(n^3T)$ 的算法。这些思想结合了 CombBand 和 Ailon (2013) 提出的一种用于全信息设定下置换多面体在线优化的近期算法。技术核心是对 Plackett-Luce 噪声排序过程的“伪损失”方差的界限。该界限是通过建立由三个参数的指数有理函数生成的一系列 3 乘 3 矩阵的正半定性而获得的。