在四个符号中大小为三的列表上避免平方词

2007 年，Grytczuk 猜想：对任意大小为 $3$ 的字母表序列 $(\ell_i)_{i\ge1}$，存在一个无平方无限词 $w$，使得对所有 $i$，$w$ 的第 $i$ 个字母属于 $\ell_i$。Thue 于 1906 年的结果意味着若所有 $\ell_i$ 相同则存在无平方无限词。另一方面，Grytczuk、Przybyło 与 Zhu 在 2011 年表明若 $\ell_i$ 大小为 $4$ 而非 $3$ 该结论也成立。本文中，我们首先表明若列表大小为 $4$，无平方词的数量至少为 $2.45^n$（先前类似界为 $2^n$）。随后我们给出主要结果：若列表为同一大小为 $4$ 的字母表的大小为 $3$ 的子集，我们可构造这样的无平方词。我们的证明还意味着对任意此类列表赋值，长度为 $n$ 的无平方词至少有 $1.25^n$ 个。该证明依赖于一组用计算机验证的系数之存在性。我们推测完整猜想可借此方法以远为强大的计算机解决（但或许需等待数十年方有此类计算机可用）。