采用双重数值微分算法的超弹性材料自动有限元实现

为了加速超弹性材料在有限元分析中的实现，我们开发了一种仅需应变能函数的自动数值算法。这节省了对应力和切线模量进行解析推导和编码的精力，这些工作既耗时又容易出错。使用单侧牛顿差商，所提出的算法首先扰动变形梯度并计算应变能的差异以近似应力。然后，我们再次扰动以获取应力的差异来近似切线模量。在扰动参数空间中评估了近似的准确性，我们发现获取应力的最佳扰动量为 $10^{-6}$，获取切线模量的最佳扰动量为 $10^{-4}$。在 ABAQUS 中使用 Neo-Hookean 材料进行的单单元验证，在单轴压缩与拉伸、双轴拉伸和简单剪切情况下，仅产生了平均 $7\times10^{-5}$ 的微小应力误差。使用 Holzapfel 各向异性材料构建的动脉膨胀全 3D 模型，在 $25 kPa$ 压力下产生的膨胀半径相对误差仅为 $4\times10^{-6}$。验证测试结果表明，所提出的数值方法具有良好的精度和收敛性能，因此是用于小规模模型的良好材料实现算法，也是用于大规模模型的有用调试工具。