振幅与频率算子的逼近

我们研究在节点 $z=0$ 处对在该节点邻域内解析的函数 $f(z)=\sum_{m=0}^{\infty} f_m z^m$ 进行 Pad\'{e} 插值，使用的是形式为 $$\sum_{k=1}^n \mu_k h(\lambda_k z), \qquad \mu_k,\lambda_k\in \mathbb{C}.$$ 的振幅与频率算子（和）。这里 $h(z)=\sum_{m=0}^{\infty} h_m z^m$，$h_m\ne 0$，是一个在原点解析的固定（基）函数，插值是通过适当选择振幅 $\mu_k$ 和频率 $\lambda_k$ 进行的。$2n$ 重插值问题的可解性由关联矩问题 $$\sum_{k=1}^n\mu_k \lambda_k^m={f_m}/{h_m}, \qquad m=\overline{0,2n-1}.$$ 的可解性决定。在许多情况下，当矩问题相容时，可以通过经典的 Prony 和 Sylvester 方法求解，此外，还可以轻松构造相应的插值和。在矩问题不相容的情况下，我们提出了一种正则化方法，即在振幅与频率和中添加一个特殊的二项式 $c_1z^{n-1}+c_2 z^{2n-1}$，使得与所得和相关的矩问题已经可以通过 Prony 和 Sylvester 方法求解。这种方法使我们能够获得具有 $n$ 个节点 $\lambda_k z$ 的插值公式，其对次数 $\le 2n-1$ 的多项式是精确的，而具有相同节点数的传统公式通常仅对次数 $\le n-1$ 的多项式精确。该正则化方法被应用于数值微分和外推。