具有多项式小均值的随机矩阵的积和式逼近：零点与普适性

我们研究当矩阵元素略微偏离零时逼近随机矩阵积和式的算法。这一问题源于理解线性光学的经典复杂度以及玻色采样（Aaronson 和 Arkhipov '11；Eldar 和 Mehraban '17）的目标。Barvinok 插值法能够在对多项式 $\mathrm{per}(zJ + W)$ 建立足够大的无零点区域时高效逼近积和式，其中 $J$ 为全 1 矩阵，$W$ 为具有独立零均值元素的随机矩阵。我们证明当 $W$ 的元素为标准复高斯分布时，随机多项式 $\mathrm{per}(zJ + W)$ 的所有零点均位于半径为 $\tilde{O}(n^{-1/3})$ 的圆盘内，从而在元素偏置为 $\tilde{\Omega}(n^{-1/3})$ 时给出一个逼近算法。此前，在偏置小于 $1/\mathrm{polylog}(n)$ 时不存在高效算法，且通常是否存在满足 $|z| \ge 1$ 的零点 $z$ 也是未知的。作为补充结果，我们证明绝大多数零点，即其中 $(1 - \epsilon)n$ 个，其模长为 $\Theta(n^{-1/2})$。这防止了我们的插值法与关于逼近积和式平均情况困难性的猜想相矛盾。我们还为具有复顶点逸度的一般图上的硬核模型建立了类似的无零点区域。此外，我们证明了普适性结果，为具有独立同分布次指数元素的随机矩阵 $W$ 建立了无零点区域。