以树宽和列表大小为参数的 Anti-Factor 问题是 FPT（但计数问题是困难的）

在一般的 AntiFactor 问题中，给定一个图 $G$，其中每个顶点 $v$ 具有一个禁用度集合 $X_v\subseteq \mathbb{N}$，任务是找到一个边集合 $S$，使得 $v$ 在 $S$ 中的度数不在集合 $X_v$ 中。使用标准技术（动态规划 + 快速卷积）可以证明，如果 $M$ 是最大禁用度，则在给定宽度为 $k$ 的树分解时，该问题可以在 $(M+2)^k\cdot n^{O(1)}$ 的时间内解决。然而，如果集合 $X_v$ 是稀疏的，则可能存在显著更快的算法：我们的主要算法结果表明，如果每个顶点最多有 $x$ 个禁用度（我们称这种特殊情况为 AntiFactor$_x$），则该问题可以在 $(x+1)^{O(k)}\cdot n^{O(1)}$ 的时间内解决。也就是说，AntiFactor$_x$ 以树宽 $k$ 和排除度数的最大数量 $x$ 为参数是固定参数可解的。我们的算法使用了代表集技术，该技术可以推广到优化版本，但（如预期那样）不能推广到该问题的计数版本。事实上，我们证明了 #AntiFactor$_1$ 以给定分解的宽度为参数时已经是 #W[1]-困难的。此外，我们表明，与判定版本不同，标准的动态规划算法对于计数版本基本上是最优的。形式上，对于固定的非空集合 $X$，我们用 $X$-AntiFactor 表示每个顶点 $v$ 具有相同禁用度集合 $X_v=X$ 的特殊情况。我们展示了对于每个固定集合 $X$ 的以下下界：如果存在一个 $\epsilon>0$ 使得 #$X$-AntiFactor 可以在宽度为 $k$ 的树分解上以 $(\max X+2-\epsilon)^k\cdot n^{O(1)}$ 的时间解决，则计数强指数时间假设（#SETH）不成立。