未知单位操作变换查询复杂度的解析下界

近期发展表明，可使用有限查询次数对一般 d 维未知单位操作执行复杂共轭、反演和转置等操作。本文建立了单位反演、转置和复杂共轭查询复杂度的解析下界，即使输入单位操作为未知的对数深度单位操作亦如此。具体而言，我们对单位反演的下界为 $d^2$，这表明具有 $O(d^2)$ 查询次数的确定性精确反演协议是渐进最优的。我们引入一种新框架，利用微分方法推导一般可微函数 $f: \mathrm{SU}(d)\to \mathrm{SU}(d)$ 的查询复杂度下界。作为推论，我们证明了一种新的概念——催化协议——在单位复杂共轭中是不可能的。此外，我们将框架扩展到部分已知情况，即输入单位操作被承诺位于 $\mathrm{SU}(d)$ 的子群中；以及概率情形，即转换以概率成功。