石墨烯层中电子量子输运模型的分析

我们提出并分析了两个用于石墨烯层中自洽量子电子输运的数学模型。我们处理两种情况。首先，当粒子可以在整个平面 $\RR^2$ 中运动时，该模型表现为由自洽势耦合的质量less Dirac 方程组，该势是与表面密度相关的 3D Poisson 势在石墨烯平面上的迹。在这种情况下，我们证明了 $H^s(\RR^2)$ 中解的局部时间存在性和唯一性，其中 $s > 3/8$，这特别包含了能量空间 $H^{1/2}(\RR^2)$。能够达到 $s\in (3/8,1/2)$ 的主要工具是我们在此为混合量子态推广的色散 Strichartz 估计。其次，我们考虑粒子被限制在正则有界域 $\Omega$ 中的情况。为了考虑与 Dirac 哈密顿量 $H_{0}$ 不兼容的 Dirichlet 边界条件，我们提出了一个基于修正哈密顿量的不同模型，该模型在 Dirac 点附近显示出与 $H_{0}$ 相同的能带图。在这种情况下，系统在 $H^s_{A}$ 中的适定性得到证明，其中 $H^s_{A}$ 是分数阶 Dirichlet Laplacian 算子的定义域，且 $1/2\leq s<5/2$。