在线无约束次模最大化的最优算法

我们考虑一个处于两个基本领域——次模优化与在线学习——交界处的基问题。在在线无约束次模最大化（online USM）问题中，存在一个全集 $[n]=\{1,2,...,n\}$ 以及随时间到达的 $T$ 个非负（不一定单调）次模函数序列。目标是设计一个计算高效的在线算法，其在每个时间步仅依据过去信息选择一个 $[n]$ 的子集，使得所选子集的累积值尽可能接近事后某个固定子集的最大总值。我们的主要结果是一个针对该问题的多项式时间无-$1/2$-遗憾算法，即对任意非负次模函数序列，算法的期望总值至少为事后最优子集总值的 $1/2$ 倍，误差项关于 $T$ 次线性。当次模函数以值预言机形式给出时，任何多项式时间在线算法都无法改进 $1/2$ 这一因子。先前关于离线问题的工作表明，在每个时间步均匀随机选取子集可实现零 $1/4$-遗憾。我们技术的一个副产品是用于两专家问题的显式子程序，其具有异常强的遗憾保证：其选择的总值可与未选该专家轮次中任一带专家总值的两倍相比较。该子程序可能具有独立意义。