在近线性时间内近似求解二进制最长公共子序列

最长公共子序列 是一种基本的字符串相似性度量，计算两个字符串的 LCS 是一个经典的算法问题。教科书上的动态规划算法给出了二次时间的精确算法，在合理的细粒度复杂性假设下，这基本上是最好的可能结果，因此寻找更快的近似算法是一个自然的问题。当输入是两个二进制字符串时，存在一个简单的线性时间 $\frac{1}{2}$-近似算法：计算最长的全 0 或全 1 公共子序列。即使在真正的次二次时间内是否可能实现更好的近似也一直是一个开放问题。Rubinstein 和 Song 表明，在两个输入字符串长度相等的假设下，答案是肯定的。我们解决了这个问题，将他们的结果推广到不等长字符串，证明了对于任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$ 以及一个针对二进制 LCS 的 $(\frac{1}{2}+\delta)$-近似算法，其运行时间为 $n^{1+\varepsilon}$。作为我们的结果以及 Akmal 和 Vassilevska-Williams 的一个结果的推论，对于任意 $\varepsilon>0$，存在一个针对 $q$ 元字符串上 LCS 的 $(\frac{1}{q}+\delta)$-近似算法，其运行时间为 $n^{1+\varepsilon}$。我们的技术建立在 Guruswami、He 和 Li 最近的工作之上，他们证明了容忍删除错误的纠错码的新界限。他们证明了一个关于字符串的组合“结构引理”，根据其振荡模式对字符串进行分类。我们证明并使用了该结构引理的算法推广，这可能具有独立的意义。