对超声速等温湍流中密度分布的改进拟合

超声速等温湍流的密度分布在许多天体物理系统中起着关键作用。它通常被近似为方差为 $\sigma_{s,{\rm V}}^2 \approx \ln(1 + b^2 M_{\rm V}^2)$ 的对数正态分布，其中 $s \equiv \ln \rho/\rho_0$，$M_{\rm V}$ 是均方根体积加权Mach数，$b$ 是一个依赖于驱动机制的参数，该机制可以是螺线管型（无散度）、压缩型（无旋度）或两者的混合。然而，这种拟合忽略了驱动关联时间 $\tau_{\rm a}$，而它在压缩驱动显著时起着关键作用。在此，我们进行了跨越广泛Mach数、驱动机制和 $\tau_{\rm a}$ 值的湍流模拟。在压缩情况下，$\sigma_{s,{\rm V}}^2$ 无法用标准表达式很好地拟合。相反，它与 $M_{\rm V}$ 呈近似线性标度，且其对 $\tau_{\rm a}$ 的依赖关系为 $\sigma_{s,{\rm V}}^2 \approx M_{\rm V} [1 + \frac{2}{3}(1 + \lambda_{\rm a})\Theta(1 + \lambda_{\rm a})]$，其中 $\lambda_{\rm a} \equiv \ln(\tau_{\rm a}/\tau_{\rm e})$，$\tau_{\rm e}$ 是涡旋翻转时间，$\Theta$ 是Heaviside阶跃函数。混合驱动湍流对 $\tau_{\rm a}$ 表现出弱依赖性，而对于螺线管驱动湍流，$\sigma_{s,{\rm V}}^2 \approx \frac{1}{3}M_{\rm V}$，这与 $M_{\rm V} \lesssim 8$ 时的标准表达式一致。体积加权平均值和偏度也表现出随 $M_{\rm V}$ 和 $\tau_{\rm a}$ 变化的系统性趋势，偏离了对数正态预期。质量加权密度分布在压缩驱动情况下表现出显著的展宽和偏度，尤其是在大 $\tau_{\rm a}/\tau_{\rm e}$ 时。这些结果为天体物理湍流建模提供了一个改进的框架。