关于近似最优 LogSumExp 平滑函数的初等证明

我们考虑在无穷范意义下对 $\mathbb{R}^d$ 中的坐标最大值函数进行平滑化的设计。LogSumExp 函数 $f(x)=\ln(\sum^d_i\exp(x_i))$ 提供了一种经典的平滑方法，其值与最大值函数最多相差 $\ln(d)$。我们给出了一个初等构造的下界，证明了任何对最大值函数进行上估的平滑函数至少相差 $\sim 0.8145\ln(d)$。因此，LogSumExp 在常数因子上是最优的。然而，在小维数情况下，我们提供了更强的、恰好最优的平滑函数，达到我们的下界，表明基于熵的 LogSumExp 平滑方法并非恰好最优。