Rado-Horn 定理的一个初等直观证明
泛函分析
2011-12-02 v1
摘要
Rado-Horn 定理给出了一个向量集合何时能被划分为固定数量个线性无关集的充分必要条件。此类划分存在的充要条件是，该向量的每个子集均满足所谓的 Rado-Horn 不等式。目前 Rado-Horn 定理至少有六种证明，但这些证明往往极其精巧，或需要深入掌握拟阵理论。本文给出了 Rado-Horn 定理的一个初等证明，以及若干推广结果的初等证明，包括 Rado-Horn 定理假设不成立时的冗余情形。现有 Rado-Horn 定理证明的另一个问题是，它们未提供关于如何实际划分向量的信息。我们首先考虑向量的一个特定划分，证明过程即在于证明这是一个最优划分。我们进一步证明，我们在证明中构造的某些结构正是 Rado-Horn 定理的核心，具体方式是刻画使 Rado-Horn 不等式取最大值的向量子集。最后，我们展示了如何利用这些结果，根据向量的生成性质选取最优划分。
引用
@article{arxiv.1112.0161,
title = {An elementary, illustrative proof of the Rado-Horn Theorem},
author = {Peter G. Casazza and Jesse Peterson},
journal= {arXiv preprint arXiv:1112.0161},
year = {2011}
}