一种高效的 Kloosterman 和零点确定性检验

我们提出了一种简单的确定性检验，用于判定元素 $a \in \F_{2^n}^{\times}$ 或 $\F_{3^n}^{\times}$ 是否为相应有限域上 Kloosterman 和的零点，并严格分析了其运行时间。该检验似乎在文献中被忽视了。对于二元域，该检验的预期代价是在关联椭圆曲线上进行一次半点运算；对于三元域，预期代价是在关联椭圆曲线上进行三分之一点运算的一半。对于实际感兴趣的二元域，这比之前最快的检验实现了 O(n) 的加速。通过对 $\F_{2^n}^{\times}$ 的随机元素反复调用该检验，我们获得了迄今为止寻找非平凡 Kloosterman 和零点最高效的概率方法。该分析依赖于两类关联椭圆曲线族中 Sylow $p$-子群的分布，我们利用 Howe 的一个定理确定了这一分布。