Carleman 线性化 Burgers 方程的一种高效分解方法

在此，我们提出了一种多对数分解方法，用于将线性化一维 Burgers 方程的矩阵加载到量子计算机上。首先，我们使用 Carleman 线性化方法将非线性 Burgers 方程映射为一个无限线性方程组，随后将其截断至 $\alpha$ 阶。这个新的有限线性系统随后被嵌入到一个更大的方程组中，其关键特性在于其矩阵可以分解为 $\mathcal{O}(\log n_t + \alpha^2\log n_x)$ 个项的线性组合，其中 $n_t$ 为时间步数，$n_x$ 为空间网格点数。虽然此线性组合中的项并非酉矩阵，但每一项都可以通过简单的块编码过程实现。通过将我们的方法与变分量子线性求解器相结合进行的数值模拟表明，获得精确解是可能的。最后，资源估计表明，Clifford 门和 T 门数量的上界分别按 $\mathcal{O}(\alpha(\log n_x)^2)$ 和 $\mathcal{O}((\log n_x)^2)$ 缩放。因此，这是针对 Carleman 线性化系统的第一个关于 $n_x$ 和 $n_t$ 的显式多对数数据加载方法。