证明 Stein 刻画充分性的渐近方法

在将 Stein 方法扩展到新的目标分布时，第一步是找到一个能恰当刻画目标分布的 Stein 算子。本文引入一种广泛适用的技术，用于证明这些 Stein 刻画的充分性，该技术可应用于 Stein 算子是具多项式系数的线性微分算子的情况。该方法通过渐近分析来证明只有一个特征函数满足与 Stein 刻画相关的某个微分方程。我们利用该方法证明了所有具线性系数的 Stein 算子都刻画其目标分布，并逐一验证了文献中所有次数不超过二的多项式 Stein 算子都是刻画性的。对于表示标准高斯随机变量的 X 和表示第 p 个 Hermite 多项式的 H_p，我们还证明了（除其他例子外）H_p(X)（p=3,4,…,8）的具最小可能次数系数的 Stein 算子刻画其目标分布，以及 p=3,4,…,8 个独立标准高斯随机变量乘积的 Stein 算子是刻画性的（在这两种情形中 p=1,2 的 Stein 算子已知为刻画性的）。我们利用对 H_3(X) 和 H_4(X) 的 Stein 刻画，推导了这些目标分布在 Malliavin 微积分中迭代 Gamma 算子下的刻画，这在 Malliavin-Stein 方法的语境中是自然的。