基于矩阵不变量的 S 盒仿射等价算法

我们研究了 S 盒的仿射等价（AE）问题。给定两个表示为 $S_1$ 和 $S_2$ 的 S 盒，我们的目标是寻找两个可逆的 AE 变换 $A,B$ 使得 $S_1\circ A = B\circ S_2$ 成立。由于在分组密码的分析与设计中的重要应用，AE 算法的研究日益重要。在本文中，我们首先对 S 盒提出零化操作，通过该零化操作可将 AE 问题转化为 $2^n$ 个线性等价问题。其次，我们提出标准正交空间矩阵（SOSM），其秩在 AE 变换下保持不变。最后，基于零化操作和 SOSM 方法，我们提出了一种用于确定 S 盒 AE 的深度优先搜索（DFS）方法，命名为 AE\_SOSM\_DFS 算法。利用该矩阵不变量，我们将算法的时间复杂度优化至约为无 SOSM 时复杂度的 $\frac{1}{2^n}$。具体而言，我们算法的复杂度为 $O(2^{3n})$。此外，我们还对不可逆 S 盒进行了实验，其性能与可逆 S 盒相似。而且，我们提出的算法能够有效处理低代数次数的 S 盒或某些流行的 S 盒（如 AES 和 ARIA\_s2），这些是 Dinur（2018）提出的算法难以处理的。使用我们的算法，仅需 5.5 秒即可发现 AES、ARIA\_s2、Camellia、Chiasmus、DBlock、SEED\_S0 和 SMS4 这七个流行的 S 盒是仿射等价的，并给出了这些 S 盒的 AE 变换。