通信复杂度中对数秩猜想的一种加性组合学方法
计算复杂性
2011-11-28 v1 组合数学
摘要
对于一个 {0,1}-值矩阵 M，令 CC(M) 表示与 M 相关的布尔函数的确定性通信复杂度。Lovász 和 Saks 的对数秩猜想 [FOCS 1988] 指出，对于某个绝对常数 c，有 CC(M) ≤ log^c(rank(M))，其中 rank(M) 表示 M 在实数域上的秩。我们证明，假设加性组合学中一个著名的猜想——多项式 Freiman-Ruzsa (PFR) 猜想成立，则对于某个绝对常数 c，有 CC(M) ≤ c · rank(M)/log rank(M)。我们的证明基于对“近似对偶猜想”的研究，该猜想最近由 Ben-Sasson 和 Zewi [STOC 2011] 提出，并在与 PFR 猜想的关联中进行了研究。首先，我们在假设 PFR 猜想成立的条件下改进了近似对偶的界。然后，我们利用近似对偶猜想（及其改进的界）得到上述低秩矩阵通信复杂度的上界，这一部分采用了 Nisan 和 Wigderson [Combinatorica 1995] 建议的方法。
引用
@article{arxiv.1111.5884,
title = {An additive combinatorics approach to the log-rank conjecture in communication complexity},
author = {Eli Ben-Sasson and Shachar Lovett and Noga Zewi},
journal= {arXiv preprint arXiv:1111.5884},
year = {2011}
}