基于能量分解的一般类正定矩阵自适应快速求解器

本文针对包含著名图拉普拉斯矩阵在内的一般类对称正定（SPD）矩阵，提出一种自适应快速求解器。我们通过开发自适应算子压缩方案和多分辨矩阵分解算法来实现这一目标，该算法在复杂度和适定性方面均达到近乎最优的性能。为开发自适应算子压缩和多分辨矩阵分解方法，我们首先利用能量元表示，为 SPD 矩阵 $A$ 引入一种新颖的能量分解概念。这些能量元之间的相互作用描绘了算子底层的拓扑结构。这种分解概念自然地反映了算子隐藏的几何结构，并继承了该结构的局部性。通过利用此能量框架下的内在几何信息，我们为逆算子 $A^{-1}$ 提出了一种系统的算子压缩方案。特别地，通过对底层几何结构进行适当划分，我们可以利用内部能量和闭合能量的概念构造局部基。同时，引入了两个重要的局部量，即误差因子和条件因子。我们的误差分析结果表明，这两个因子将成为寻找基函数适当划分的准则，以实现预设的压缩误差和可接受的条件数。基于这一洞见，我们提出 Patch Pairing 算法来实现具有可控压缩误差和条件数的算子压缩能量划分框架。