交错 $M_2$-代数与 ${\mit \Gamma}$-代数

近来，V.H.López Solís 与 I.Shestakov 解决了 N.Jacobson 关于描述含 $2\times 2$ 矩阵代数 $M_2$ 作为单位子代数的单位交错代数的老问题。本文借助 6 维交错超代数 $B(4,2)$ 与一个辅助的 $\mathbf{\mit Z}_2$-分次代数 $\mit\Gamma$，给出 $M_2$-代数的另一种描述。结果表明，交错 $M_2$-代数的范畴同构于 $\mit\Gamma$-代数的范畴。对任意结合交换代数 $A$，我们给出 ${\mit \Gamma}$-代数 $\mit\Gamma(A)$ 的构造，它成为一个 Jordan 超代数；若 $A$ 为整环，则 $\mit\Gamma(A)$ 为素超代数。我们还描述了自由 $\mit\Gamma$-代数并构造了它们的基。