TT 格式下的交替最小二乘张量补全

我们考虑将低秩张量 $A\in\mathbb{R}^{{\mathcal I}}$, ${\mathcal I} = \{1,\ldots,n\}^{d}$ 拟合到给定数据点集 $\{M_i\in\mathbb{R}\mid i\in P\}$, $P\subset{\mathcal I}$ 的问题。所考虑的低秩格式为分层格式或 TT 或 MPS 格式。其特征在于张量某些矩阵化上的秩界 $r$。自由度数为 ${\cal O}(r^2dn)$。对于固定的秩和模大小 $n$, 我们观察到, 对于具有 $N=n^d$ 个条目的张量, 可以从数量为 ${\cal O}(\log N)$ 的样本中重建随机 (但具有秩结构的) 张量以及某些离散化的多变量 (但具有秩结构的) 函数。我们将交替最小二乘 (ALS) 拟合与受用于矩阵补全的 LMaFit 方法启发的过松弛方案进行了比较。两种方法均旨在通过非线性 Gauss-Seidel 型求解器找到满足一阶最优性条件的张量 $A$, 该求解器由在方向 $\mu=1,\ldots,d$ 上交替循环拟合构成。最小二乘拟合每步的复杂度为 ${\cal O}(r^4d\#P)$, 而 ADF 每步的复杂度为 ${\cal O}(r^2d\#P)$, 尽管其所需步数略多。在数值实验中, 我们观察到补全算法对噪声的鲁棒性以及良好的重建能力。我们的测试表明, 该算法适用于较高维度 ($>$10) 以及中等秩的情况。