近似线性植入团避开了 Metropolis 过程

Jerrum (1992) 的一项开创性工作表明大团避开 Metropolis 过程。更具体地，Jerrum 表明 Metropolis 算法不能在多项式时间内找到植入于 Erd\H{o}s-R\'{e}nyi 随机图 $G(n,1/2)$ 中大小为 $k=\Theta(n^{\alpha}), \alpha \in (0,1/2)$ 的团。从信息论角度，只要 $k \ge (2+\epsilon) \log n$ 就可找到此类植入团。自 Jerrum 的工作以来，$G(n,1/2)$ 中植入团的计算问题被广泛研究，许多多项式时间算法被证明可在团大小为 $k = \Omega(\sqrt{n})$ 时找到植入团，而当 $k=o(\sqrt{n})$ 时无从知晓任何多项式时间算法。值得注意的是，该问题算法困难性的首个证据通常归于 Jerrum 1992 年的结果。本文中我们重访 Jerrum 提出的原始 Metropolis 算法。有趣的是，我们发现 Metropolis 算法实际上无法恢复任意常数 $0 \leq \alpha < 1$ 下大小为 $k=\Theta(n^{\alpha})$ 的植入团。此外，我们在若干其他方面加强了 Jerrum 的结果，包括：如同 MCMC 文献中许多结果，Jerrum 的结果表明存在一个起始状态（可能依赖于实例）使 Metropolis 算法失败。对于广泛的温度范围，我们表明当从最自然的初始状态即空团开始时算法失败。这回答了 Jerrum (1992) 中所述的一个开放问题。我们也表明 Metropolis 算法的模拟退火版本（一种更复杂的温度交换变体）在同一参数区间同样失败。最后，我们的结果证实了 Gamarnik 与 Zadik (2019) 以及 Angelini、Fachin、de Feo (2021) 近期的预测。