低维流形的几乎形式化

本文引入 Hodge 型 Poincaré DGCA 的概念，它是 Poincaré DGCA 的一个子类，包含了闭可定向流形的 de Rham 代数。随后我们引入 Hodge 型 Poincaré DGCA 的小代数与小商代数的概念。利用这些概念，我们研究了 $(r-1)$ 连通 $(r>1)$ Hodge 型 Poincaré DGCA 的等价类。特别地，我们证明了一个维数 $n \le 5r-3$ 的 $(r-1)$ 连通 Hodge 型 Poincaré DGCA ${\mathcal A}^\ast$ 是 $A_\infty$-拟同构于一个 $A_3$-代数，并证明 ${\mathcal A}^\ast$ 形式化的唯一阻碍是一个特殊的 Harrison 上同调类 $[\mu_3] \in {\mathsf{Harr}}^{3,-1} (H^*({\mathcal A}^\ast), H^*({\mathcal A}^\ast))$。此外，上同调类 $[\mu_3]$ 与 $H^*({\mathcal A}^\ast)$ 的 DGCA 同构类决定了 ${\mathcal A}^\ast$ 的 $A_\infty$-拟同构类。这可视为 Crowley-Nordström 关于维数不超过 $5r-3$ 的 $(r-1)$ 连通 $(r>1)$ 闭流形有理同伦型结果 [D. Crowley, J. Nordström, The rational homotopy type of $(n-1)$-connected manifolds of dimension up to $5n-3$, arXiv:1505.04184v2] 的 Harrison 上同调版本。我们还由我们的结果及 Cheeger-Gromoll 分裂定理，导出了闭 $G_2$-流形的几乎形式化，后者最近由 Chan-Karigiannis-Tsang 在 [K.F. Chan, S. Karigiannis and C.C. Tsang, The ${\mathcal L}_B$-cohomology on compact torsion-free ${\rm G}_2$ manifolds and an application to `almost' formality, arXiv:1801.06410, to appear in Ann. Global Anal. Geom.] 中发现。