Alikhanov-XfPINNs：用于非均匀网格上非线性分数 PDE 的自适应物理信息学习

为解决分数偏微分方程（fPDEs）初始奇异问题，我们提出了在非均匀时间网格上实现的加速 Alikhanov 离散格式。基于物理信息神经网络（PINNs）框架，我们引入了 Alikhanov 扩展分数 PINNs（XfPINNs）架构，将高阶时间离散化和深度学习相结合。fPDEs 中的非局域记忆项导致计算成本高昂，而 t→0+ 附近的弱奇异会使均匀网格上的精度恶化。为将时间离散效应与优化和抽样误差分离，我们进一步发展了一种辅助时间推进配置，使其在受控训练容忍度下实现可审计的时间收敛性研究。该架构可以求解通用的非线性 fPDE。XfPINNs 方法面向前向问题和逆问题，允许数据驱动的解重构和参数估计。首先，神经网络近似非线性 fPDE 的解；然后，一个自适应激活函数加速收敛并提高训练效率。优化框架嵌入由 Alikhanov 方案构成的变分损失函数，其中初始条件和边界条件通过硬约束和软约束的组合实现。数值实验，包括已知精确解和未知精确解的案例，展示了 Alikhanov-XfPINNs 方法的鲁棒性、计算效率以及显著的 CPU 时间节省。