拟有限复形的代数性质

一个可数 CW 复形 $K$ 是拟有限的(如 A.Karasev 所定义),如果对于 $K$ 的每个有限子复形 $M$,存在有限子复形 $e(M)$,使得任意映射 $f:A\to M$(其中 $A$ 是满足 $X\tau K$ 的可分度量空间 $X$ 中的闭集)都有扩张 $g:X\to e(M)$。Levin 的结果蕴涵:若 $G\ne 0$,则没有一个 Eilenberg-MacLane 空间 $K(G,2)$ 是拟有限的。本文我们讨论所有 Eilenberg-MacLane 空间的拟有限性。更一般地,我们处理具有有限多个非零 Postnikov 不变量的 CW 复形。以下是本文的主要结果:设 $K$ 是具有有限多个非零 Postnikov 不变量的可数 CW 复形。若 $\pi_1(K)$ 是局部有限群且 $K$ 是拟有限的,则 $K$ 是零调的。设 $K$ 是具有有限多个非零 Postnikov 不变量的可数非可缩 CW 复形。若 $\pi_1(K)$ 是幂零的且 $K$ 是拟有限的,则 $K$ 扩张等价于 $S^1$。