仿射不变积分秩加权深度：定义、性质与有限样本分析

由于统计深度（statistical depth）确定了 $\mathbb{R}^d$（$d\geq 2$）中观测值的由中心向外的排序，它允许为多元数据定义分位数与秩，并将其用于各类统计任务（如推断、假设检验）。尽管自 \cite{Tukey75} 的开创性工作以来文献中已提出许多临时（ad-hoc）的深度函数，但它们并非都具备可类比一元概率分布分位数函数概念所需的性质。本文提出一种对 \cite{IRW} 最初引入的积分秩加权统计深度（简称 IRW 深度）的扩展，经修正以满足仿射不变性（affine-invariance）性质，从而满足 \cite{ZuoS00a} 所制定术语表中的全部四条关键公理。我们提出的变体称为仿射不变 IRW 深度（简称 AI-IRW），它涉及所研究的（假定平方可积）$d$ 维随机向量 $X$ 的协方差/精度矩阵，以考虑 $X$ 变化最显著的方向，从而为任意点 $x\in \mathbb{R}^d$ 赋予深度值。我们从非渐近角度研究了 AI-IRW 深度的抽样版本的精度，即证明了 AI-IRW 深度的统计对应物的一个集中不等式。除理论分析外，本文还考虑了在异常检测中的应用并展示了数值结果，为我们所提深度函数的相关性提供了有力的经验证据。