超曲面中余维 2 子流形的仿射焦集

本文研究仿射焦集，即 (n+2) 维空间中包含在超曲面 M^{n+1} 内的子流形 N^n 的仿射距离的分岔集。我们给出了该仿射焦集为规则超曲面的条件，并对 3 维空间中的曲线描述了其稳定奇点。对于浸入 N⊂M 的给定 Darboux 向量场 ξ，可以定义仿射度量 g 和仿射法平面丛 𝒜。我们证明，位置向量的 g-Laplacian 属于 𝒜 当且仅当 ξ 是平行的。对于脐点且法向平坦的浸入，仿射焦集退化为一条直线。包含在超平面或超二次曲面中的子流形总是法向平坦的。对于包含在超平面 L 中的 N，我们证明 N⊂M 是脐点的当且仅当 N⊂L 是一个仿射球面且切空间包络是一个锥面。对于超二次曲面 M，我们证明 N⊂M 是脐点的当且仅当 N 包含在一个超平面中。本文的主要结果是对脐点且法向平坦浸入的一般描述：给定一个超曲面 f 和 (n+1) 维空间中的一点 O，浸入 (ν, ν·(f-O))（其中 ν 是 f 的余法向量）是脐点且法向平坦的，反之，任何脐点且法向平坦的浸入都属于这种类型。