对抗性低次测试

在性质测试的 t-在线擦除模型中，允许对手对测试者每次查询所查询函数的 t 个值进行擦除。该模型最近由 Kalemaj、Raskhodnikova 与 Varma 提出，他们证明了函数的线性性以及二次性性质可在 O_t(1) 次查询内被测试：线性性为 O(log(t))，二次性为 2^{2^{O(t)}}。他们询问更一般的低次性性质是否可在在线擦除模型中被测试、是否存在针对二次性的更优测试器，以及当“擦除”被“损坏”替代时类似结果是否成立。我们证明，在 t-在线擦除模型中，对于素数的幂 q，给定对函数 f: F_q^n → F_q 的查询访问，可在 poly(log^{d+q}(t)/δ) 次查询内区分 f 次数至多为 d 的情形与 f 距离任意 d 次函数 δ-远（关于分数汉明距离）的情形。这回答了上述问题，并使查询复杂度几乎匹配经典性质测试模型中低次测试的查询复杂度。我们的结果基于如下观察：低次性性质容许一个庞大且多用途的查询高效测试器族。我们的测试器通过在一个足够大的仿射子空间中查询均匀随机的、足够大的点集，并寻找仅利用该点集中查询的低次性测试器来运作。我们相信该测试器可找到在在线擦除模型或其他相关模型中算法的其他应用，并可能具有独立意义。