神经 PDE 近似中残差最小化的自适应各向异性复合数值积分
数值分析
2026-05-04 v1 数值分析
摘要
我们研究了数值积分在残差最小化方法中在神经网络对部分微分方程 (PDE) 近似中的作用。我们首先提出了一个抽象误差框架，将近似误差、数值积分误差和优化误差分离，并推导了一个量化离散损失不准确性如何影响最终近似的非线性 Strang 类型估计。受此分析启发，我们提出了一种各向异性自适应复合数值积分策略，通过更丰富的参考数值积分和二分细化来控制残差损失的相对数值积分误差。随后，我们引入一种基于刷新的训练方法，仅在在线误差指示器超过指定阈值时重新构建数值积分，在平衡准确性和计算成本方面发挥作用。数值实验在各种基准问题上表明，所提出的方法缩小了训练损失与参考损失之间的差距，使用数值积分点更高效，并相对于非自适应数值积分策略提供了强大的近似精度。
引用
@article{arxiv.2605.00308,
title = {Adaptive anisotropic composite quadratures for residual minimisation in neural PDE approximations},
author = {Santiago Badia and Kishore Nori},
journal= {arXiv preprint arXiv:2605.00308},
year = {2026}
}