不可压缩流体中主动变形多孔介质的变分方法

生物有机体的许多部分由可变形多孔介质构成。这些生物介质既柔软到足以在外界作用力下发生变形，也能借助内嵌肌肉做功而自行变形。例如，近期工作（Ludeman et al., 2014）展示了淡水海绵有趣的“打喷嚏”动力学：海绵收缩并扩张以清除周围的污染水。我们推导了填充不可压缩流体的此类主动多孔介质（即能够通过内部肌肉对自身施加力的可变形多孔介质）的动力学运动方程。这些运动方程推广了早先推导的填充不可压缩流体的被动多孔介质方程。我们采用变分方法，将拉格朗日量写为表示弹性基质动能与势能以及流体动能的各项之和，并通过不可压缩性约束耦合。接着我们推广该理论，计算主动多孔介质与流体均不可压缩、而多孔介质仍可变形（生物应用中常见情形）的情况。针对均匀初始态这一特例，我们将运动方程改写为两个耦合的类电报方程，描述物质（拉格朗日）粒子在欧拉参考系中的运动，特别适于数值模拟，并分别给出可压缩介质/不可压缩流体情形与双不可压缩情形的公式。我们推导出有趣的运动守恒律，在两种情形下均进行数值模拟，并展示了生物有机体因特定行波状肌肉应力施加而产生自推进的可能性。